Sisällysluettelo:
- Kreikkalaiset
- Black & Scholes
- Delta
- Gamma
- Kolme tapaa laskea sijainnin arvon muutos
- 1. Tuloksen laskeminen kassavirran avulla
- 2. Tuloksen laskeminen Delta-toiminnolla
- 3. Tuloksen laskeminen gamman avulla
Kreikkalaiset
Kreikkalaiset - delta, gamma, teeta, vega ja rho - ovat viisi muuttujaa, jotka auttavat tunnistamaan optioposition riskit.
Sijoittajien optioihin kohdistuvat riskit eivät ole yksiulotteisia. Sopeuttaakseen muuttuviin markkinaolosuhteisiin sijoittajan tulisi olla tietoinen näiden muutosten suuruudesta. Optio-teoria ja optioiden hinnoittelumallit antavat sijoittajille muuttujia, jotka tunnistavat heidän optiopositionsa riskit. Näitä muuttujia kutsutaan kreikkalaisiksi. Valvomme kreikkalaisia viisi: delta, gamma, teeta, vega ja rho.
Koska kreikkalaiset ovat johdannaisia Black & Scholes -kaavasta, aloitamme selittämällä siitä lisää.
Black & Scholes
Black and Scholes -kaava, jota joskus kutsutaan nimellä Black, Scholes ja Merton-kaava, on markkinoiden vakiotyökalu hinnoitteluvaihtoehdoille. Tämä kaavahinta-optio nykyisen osakekurssin S 0, option T erääntymisajan, sen lakon X, volatiliteetin σ ja koron r funktiona:
kutsu = S 0 N (d 1) - Xe -rT N (d 2)
put = Xe -rT N (-d 2) - S 0 N (-d 1)
missä N (x) on normaalin normaalijakauman kumulatiivinen normaalijakautumistoiminto, ts. todennäköisyys, että satunnaismuuttuja ~ N (0,1) (normaalin normaalijakauman kanssa) on pienempi kuin x.
Ennen kuin keskustelemme kaavasta, määritetään taustalla olevat oletukset. Black and Scholes -kaavassa oletetaan:
- Tuotto on IID (riippumaton ja identtisesti jaettu), normaalijakauma.
- Tulevaisuuden volatiliteetti on tunnettu ja vakio.
- Tuleva korko on tiedossa, vakio ja sama lainanotossa.
- Osakepolku on jatkuva ja jatkuva kaupankäynti on mahdollista.
- Transaktiokustannukset ovat nolla.
Teorian kehittämiseksi oletamme, että kaikki nämä oletukset pitävät paikkansa. Tämä kaava on markkinastandardi, koska se on erittäin vahva sen oletusten rikkomusten suhteen.
Delta
Ensimmäinen kreikkalainen, josta keskustellaan, on delta. Periaatteessa delta on option teoreettisen arvon herkkyys taustalla olevan sopimuksen hinnan muutokselle. Suoraan sanottuna delta on option arvon muutos, kun kohde-arvo nousee yhdellä dollarilla. Esimerkiksi:
Δ kutsu = ∂c / ∂S = N (d 1) ja Δ put = ∂p / ∂S = N (d 1) - 1,
N: n kanssa (d 1) kuten BS-kaavassa.
Osto-option arvo nousee osakekurssin noustessa, joten osto-option delta on positiivinen. Toisaalta myyntioptioarvo pienenee, kun osakekurssi nousee, joten myyntioption delta on negatiivinen.
Voidaan huomata, että N (x) on todennäköisyystiheysfunktio, joten se ottaa arvon sisään. Yhden puhelun delta on tällöin aina ja yhden puhelun delta. Koska taustalla oleva taso on yleensä 100 osaketta, optioiden delta kerrotaan 100: lla. Esimerkiksi optiota, jonka delta on 0,25, pidetään delta-arvona 25. Mitä korkeampi delta, sitä vastaavampi option arvon muutos tapahtuu olla taustalla olevaan varastoon. Delta 100 -optiolla arvo liikkuu täsmälleen samalla nopeudella kuin kohde-etuuskanta. Huomaa myös, että johdannaisoperaatio on lineaarinen, jotta voimme laskea kunkin vaihtoehdon delta-arvon ja laskea ne yhteen saadaksesi koko salkun delta-arvon (se voi silloin olla tietysti ulkopuolella).
Kun optio lähestyy vanhenemista, sen delta muuttuu, koska todennäköisyys rahan sisään tai ulos päättymiseen muuttuu ja normaali jakauma kapenee ja keskity keskiarvon ympärille. Kun optio lähestyy vanhenemista, rahan sisäiset optiot siirtyvät kohti delta 100: a ja rahan ulkopuoliset optiot siirtyvät kohti delta 0. At-the-money -optiot puolestaan pysyvät delta-alueella 50.
Kun taustalla oleva osakekurssi muuttuu, myös delta muuttuu. Tämän on odotettavissa, koska d 1 on osakekurssin funktio.
Puhelun delta
Deltan käytännön tulkinta on suojausaste: niiden osakkeiden määrä, jotka tulisi ostaa tai myydä, jotta neutralisoitaisiin optioiden suuntariski. BS-kaavasta voimme nähdä toisen tulkinnan. Karkeasti ottaen voimme sanoa, että vaihtoehdon delta on sen todennäköisyys vanhentua rahassa. (Putille otetaan absoluuttinen arvo). Tämä likiarvo toimii kuitenkin vain eurooppalaisille vaihtoehdoille.
Yhteenvetona deltaa on kolme tulkintaa:
- Option arvon muutos, jos kohde-etuus nousee yhdellä dollarilla.
- Suojaussuhde: Ostettavien tai myytävien osakkeiden lukumäärä position suuntaavan riskin neutraloimiseksi.
- Mahdollisuus, että vaihtoehto on rahassa vanhentumisen yhteydessä
→ OTM-puhelut: delta on yleensä 0, kun lähestymme vanhenemista.
→ ITM-puhelut: delta on yleensä 100 ajan myötä.
Putoamisarvo suhteessa pohjahintaan
Delta vs. volatiliteetti
Kun volatiliteetti kasvaa (pienenee), puhelun delta menee kohti (pois) 0.50 ja putoamisen delta kohti (pois) -0.50. Joten jos volatiliteetti nousee (pienenee), rahan vaihtoehdon delta pienenee (kasvaa). Jos kyseessä on rahat pois -vaihtoehto, tämä on täsmälleen päinvastoin.
Delta vs. aika
Ajan hajotessa puhelun delta siirtyy pois arvosta 0,50 ja putoamisen delta-arvosta -0,50. Ajan myötä rahakutsun delta siirtyy kohti 1 ja rahan ulosotto delta kohti 0.
Gamma
Gamma on delta-johdannainen osakekurssin funktiona. Koska delta on optio-arvon johdannainen kohde-osakkeen funktiona, gamma on delta-muutos, kun osakekurssi nousee yhdellä dollarilla. Se on kirjoitettu seuraavasti:
Γ = δ 2 c / AS 2 = N '(d 1) / S 0 σ √T
jossa d 1 kuten BS-kaavassa ja N 'on Gaussin kumulatiivisen tiheysfunktion ensimmäinen johdannainen, se on tavallinen Gaussin tiheys:
Gamma vs. osakekurssi, Gamma vs. aika
Usein sanotaan, että gamma saavuttaa maksimiarvonsa, kun vaihtoehto on pankkiautomaatti. Tämä on oikea ensimmäisenä arvioina, mutta todellinen enimmäismäärä saavutetaan, kun osakekurssi on juuri aloitushinnan alapuolella. Tämä vaikutus näkyy yllä olevan kuvan vasemmassa osassa, kun osakekauppa on 100 dollaria. Annetaan lakko X, haihtuvuus σ, nopeuden r, ja aika kulunut T, kaluston arvo antaa enintään gamma on S max Γ = Xe - (r + 3σ ^ 2/2) T.
Puhelun ja putin gammakäyrä ovat identtiset. Tämä on sopusoinnussa sen kanssa, mitä puhuimme puheluista ja asetuksista sekä gammasta erityisesti tähän mennessä.
Kun aika vanhenemiseen vähenee, rahanvaihto-optioiden gamma ja teeta kasvavat. Juuri ennen vanhentumista nämä muuttujat voivat tulla dramaattisesti suuriksi.
Gamma vs. aika
Kuten yllä olevasta kuvasta näkyy, kaavio kapenee, mutta kaavion alla oleva kokonaispinta pysyy muuttumattomana. Tämän seurauksena kaavio saa paljon korkeamman yläosan. Ylempi yläosa symboloi gamman ja teetan kasvua, kun aika vanhenemiseen lyhenee.
ITM-, ATM- ja OTM-puheluiden käyttäytymisen vuoksi näemme, että delta-käyrä jyrkistyy lakon ympärillä vanhenemisen lähestyessä. Siksi gamma kasvaa ATM-vaihtoehdolle ajan myötä. Tämä ei kuitenkaan pidä paikkaansa OTM- ja ITM-vaihtoehdoissa.
Gamma on tärkeä riskiparametri, koska se määrittää, kuinka paljon rahaa voimme saada tai menettää delta-neutraalista salkustamme osakekurssin muuttuessa. Seuraavassa esimerkissä arvioimme optioposition P / L-arvon taustalla olevan liikkeen seurauksena. Oletetaan, että vakio gamma on 2,7, joten delta muuttuu 2,7: llä per kohde-etuuden dollarin liike.
Oletetaan, että ostamme 80 puhelun 1000 kertaa 5.52: lla osakekurssilla 79 dollaria. Delta-puolueettomuuden vuoksi meidän pitäisi myydä 51 100 osaketta. Osakekurssi kehittyy seuraavasti:
t = | Osakekurssi |
---|---|
0 |
79 |
1 |
84 |
2 |
76 |
3 |
79 |
Kohdissa t = 1 ja t = 2 säädin suojaukseni uudelleen delta-neutraaliksi. Kun t = 3, suljen sijaintini.
Kolme tapaa laskea sijainnin arvon muutos
Tässä on kolme tapaa laskea positiosi arvon muutos: ensimmäinen käyttää kassavirtaa, toinen delta-arvoa ja kolmas gammaa.
1. Tuloksen laskeminen kassavirran avulla
Tarkastelemme ensin kassavirrat alla olevan taulukon mukaisesti. Toisessa sarakkeessa näkyvät puhelun kassavirrat ja kolmannessa osakepositioni. Viimeinen rivi sisältää kaikki:
Joten lopulta saamme 132 300 voittoa. Jos olemme pitkiä vaihtoehtoja ja näin ollen meillä on pitkä gamma-asema, meidän on ostettava osakkeita, jos osakekurssi laskee, ja myyt osakkeita, jos osakekurssit nousevat (osta alhaalla, myy korkealla), joten teemme aina voittoa, jos osakkeet liikkuvat. Tarkista itse, että tämä pätee sekä puheluihin että puheluihin.
2. Tuloksen laskeminen Delta-toiminnolla
Harkitsemme nyt toista tapaa laskea voitot. Kaupat ovat samat, vain voitonlaskenta eroaa. Tällä menetelmällä tarkastelemme samanaikaisesti optiota ja osakepositiota. Meillä on osake suojaukseksi vaihtoehdolle, joten katsotaan vain delta-kokonaissijainti. Aloitamme delta-neutraalin. Sitten osakkeet liikkuvat, saamme deltoja.. Salkun arvo nousee deltojensa mukaisesti, kuten alla selitetään.
Tässä tapauksessa käytämme keskimääräistä delta-menetelmää. Eli me:
- Laske keskimääräinen delta-asema osakkeen liikkeen aikana.
- Kerro tämä intervallilla voiton laskemiseksi.
Ajankohtana t suojaamme, joten ostamme / myymme osakkeita, joten delta on jälleen neutraali.
Katsotaanpa tätä tarkemmin:
- Kohdassa t = 0, osakekaupat 79, aloitamme delta-neutraalin aseman, ts. Meillä on 51 100 osaketta alhainen
- Kun t = 1, osakekaupat 84. Optioposition delta on 64,6 * 1000 (optioista) -51100 (osakkeista). Välillä t = 0 ja t = 1 delta-sijaintini nousi 0: sta 13 500: een. Keskimääräinen delta liikkumiselle oli silloin (13500 + 0) / 2 = 6750 (6,75 puhelua kohden). Laskemaan sijaintini PnL kerrotaan nämä deltat varastomuutoksen määrällä: 6570 * 5 = 33750 dollaria. Tämän voiton saavuttamiseksi minun on myytävä osakkeet jälleen delta-neutraaleiksi.
- Kohdassa t = 2 osakekaupat 76. Optiopositioni delta on 43,0 * 1000 ja osakekannan delta -64600…
Esimerkki voiton laskemisesta Gamman avulla.
3. Tuloksen laskeminen gamman avulla
Edellä olevassa esimerkissä laskimme keskimääräisen delta-sijainnin ottamalla lähtötason ja lopullisen delta-sijainnin keskiarvon. Tämä voidaan saavuttaa myös käyttämällä gammaa, koska gamma määrittää delta-arvon muutoksen dollaria kohden.
Selvitetään miten:
- Kun t = 0, osakekaupat 79, delta-neutraali, gamma on 2700.
- Kun t = 1, osakekauppoja on 84. Osaketta siirrettiin 5, joten uusi delta-sijaintini on 5 * 2700. Delta oli siirron alussa 0, joten keskimääräinen delta on 5 * 2700/2. Osaketta siirrettiin 5, joten salkku kasvoi 5 * keskimääräisen delta = 5 * 5 * 2700/2. Salkku on suojattu niin, että delta on jälleen 0. Kutsumme tätä "gamman skalpiksi". Pitkän gamma-aseman ansiosta voit ostaa matalia ja myydä korkeita.
- Kohdassa t = 2 osakekaupat 76. Tämä on 8 dollarin liike, uusi delta-asema on 8 * 2700…
Voidaan käyttää seuraavaa yleistä kaavaa, jos aloitamme delta-neutraalista salkusta:
P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2